数学是自然科学的重要基础，也是重大科技创新的基础，在促进智力发展和培养理性思维、科学精神方面发挥着不可替代的作用。高中数学课程要帮助学生获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。[1] 然而，站在素养提升的角度，当前高中数学教学还存在素养目标对标不精准、主题内容结构认知模糊、教学设计思路不清晰、教学实施方式单一等问题，导致学生高阶思维与学科素养提升受限。
基于此，笔者围绕“主题”“结构”两个关键词，提出高中数学“主题—结构”教学主张。“主题”包括必修课程和选择性必修课程中的预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动；“结构”包括主题内容、单元内容甚至课时内容的结构。“主题—结构”教学主张的核心内涵是：主题内容是有结构的，结构的构建经历初建、重建、完善三个进阶式阶段；主题内容的教学实施是有策略的，不同阶段的教学策略和方式是不尽相同的，上述三个阶段依次对应探究、整合、循证。
主题内容结构化的方法
结构化的主题内容更容易被理解，也更不容易被遗忘。打个比方，如果把数学中每个知识点当成一块砖，把这些砖杂乱地堆放在一起，则很难把握这堆砖的数量，即便丢失几块也难以被发现；把这堆砖垒成一堵墙，则不仅可以很容易数清砖的数量，即便丢失几块也一眼可以发现。[2] 结构化的重要性可见一斑。
（一）立足学科本质，围绕核心概念层层展开
对于同一主题，采取不同的构建方式，所形成的主题内容结构体系也各不相同。主题内容结构化应立足学科本质，围绕核心概念的内涵与外延逐层展开，从而构建出层次清晰、逻辑连贯的主题内容结构体系。
以“概率与统计”主题下的统计单元为例。统计的基本思想是“用样本估计总体”，样本如何获得—需要抽样，如何“用样本估计总体”—需要先借助统计图表进行样本分析，因此以“统计”为核心概念的第一层内容结构就可以包括基本思想、抽样、样本分析、估计总体。接下来再以“抽样”为核心概念继续梳理，要使样本可以有效估计总体，抽样必须遵循哪些原则；基于这些原则，在不同情况下有哪些抽样方法，以“抽样”为核心概念的第二层内容结构即包括抽样原则、抽样方法。以此层层递推，形成从主题到单元再到课时的层层镶嵌的主题内容结构体系。
（二）依据学科逻辑，设计问题链步步深入
对于一个数学研究对象，其课时内容结构基本是“概念—图像—性质—应用”。然而，概念如何抽象，图像如何绘制，性质如何提炼，应用如何展开，这一切都需要通过设计一系列具有内在逻辑主线且环环相扣的问题来实现。
以“等差数列的前n项和”为例，为使学生深刻理解“倒序相加法”这一核心概念，笔者设计了如下问题：
通过上述问题链可以清晰感受到其中蕴含的数学逻辑：从“高斯求和”这一学生熟知的情境作为生长点，发展到“等差数列求和”这一核心内容；从“高斯配对方法”抽象出“倒序相加法”这一核心方法；再结合“等差数列的前n项和公式”与“梯形面积公式”从结构到探索方法都基本一致的事实，把“梯形面积公式”作为新知的固着点，体现了数学内部的和谐与统一。
（三）遵循教育逻辑，搭建认知脚手架循循渐进
对于一个具体问题的解决，面对知识技能、能力素养参差不齐的学生群体，要实现问题解决最优化，需要教师通过追问搭建脚手架，把问题进一步分解，并组织思考、展示、交流等活动，让学生参与新知发生发展的全过程。
以前文中问题②为例，课堂上主要产生两种思路：思路①是1+2+3+…+99=（1+2+3+…+100）-100，思路②是1+2+3+…+99=（1+99）+（2+98）+…+（49+51）+50。
但是这两种思路都存在不足，思路①相当于多解了问题①，思路②如果换个问题情境，“剩下的中间那个数”到底是多少在实操中还是有一定难度的。出现认知冲突，寻求第三种思路，聚焦“高斯配对求和”的本质—位置对应，依次提出两个追问：追问①“互相配对”的两个数在原式中分别处于什么位置？答：“第1项与倒数第1项”“第2项与倒数第2项”；追问②体会每句话之间具有什么共性？你受到什么启发？答：“第几项”就与“倒数第几项”相加。于是，“把式子倒过来写再相加”的新思路便呼之欲出。
“主题—结构”教学的设计原则与路径
“主题—结构”教学设计以依据课标、针对学情为原则。课程标准是教材编写、教学、评估和考试命题的依据，因此教学设计必须以课标为基本准绳。由于课标具有普适性，对于不同区域、不同学校、不同班级的学生，有必要针对学情进行更加个性化的教学设计，通过学生感兴趣且有挑战性的活动，促进学生思维深度参与并不断体验成功。
“主题—结构”教学设计的基本路径包括“八个围绕”。一是围绕课标备教材，根据课标要求对教材内容进行必要的重组、扩充与整合；二是围绕教材备主题，根据教材整合情况确定主题内容；三是围绕主题备结构，根据主题内容探索形成课时和单元的内容结构图；四是围绕结构备问题，依据学科逻辑设计问题链，以期学生能够通过问题链构建上述结构图；五是围绕问题备素养，从问题解决的视角，分析解决上述问题需要学生具备什么样的数学素养；六是围绕素养备学情，思考本班甚至本校的学生是否具备上述素养，并遵循教育逻辑尝试给每一个问题搭建脚手架；七是围绕学情备例题，根据学生认知及情感发展水平，设计具有代表性和针对性的例题；八是围绕例题备迁移，视学生对例题的掌握程度，设计适当的变式题或思考题让学生探索、挑战，提升学生高阶思维水平。
“主题—结构”教学的实施策略
仅有好的教学设计并不能保证教学效果，还需要一套相对稳定而不僵化的教学实施策略。在“主题—结构”教学中，笔者探索出“主题探究—结构初建”“主题整合—结构重建”“主题深化—结构完善”三个进阶式阶段，并以“分时段推进，细环节落实”为统一理念，分别构建了各具特色的教学时段、环节与策略。
（一）“主题探究—结构初建”阶段
在“主题探究—结构初建”阶段，课堂教学的基本方式是“探究”，一节课按照“学进去、讲出来、灵活用”三个时段推进。
“学进去”时段细化为“诱思”和“导学”两个环节。“诱思”是通过创设学生感兴趣的学习情境诱发学生思考，旨在让学生的思维进入课堂；“导学”是通过设计问题链，引导学生在数学问题逻辑牵引下自觉跟进，旨在让学生的思维留在课堂。
“讲出来”时段细化为“展示”和“交流”两个环节。“展示”是学生以擅长的方式阐述对所学课时内容的理解；“交流”是学生结合自己的理解对同学展示的内容作补充、质疑或探讨。这一设计旨在促进不同认知水平的学生充分交流，在教师引导下形成正确的结构化认知。
“灵活用”时段细化为“示范”“模仿”“迁移”“创新”四个环节。“示范”是教师通过典型例题引领学生进行科学分析、解答和总结，通过言语、板书等方式教会学生规范的解题程序和格式；“模仿”是通过设计与例题同类的练习，让学生再现例题的解题程序与格式，实现程序化模式识别；“迁移”是通过设计与例题相关但又有明显差别、对思维要求相对更高的变式习题，让学生跳出定式、发散思维去分析求解，实现既能模式识别又能灵活变通；“创新”是通过设计与例题相关且有挑战性的思考题，让学生探究解题路径，揭示问题本质，发展高阶思维。
（二）“主题整合—结构重建”阶段
在“主题整合—结构重建”阶段，课堂教学的基本方式是“整合”，一节课按照“结构与系统、策略与方法、整合与创新”三个时段推进。
“结构与系统”时段是从系统的角度梳理内容结构。主要针对学生课前绘制的内容结构图，师生共同从主题内容的完备性、各模块内容的关联性、模块内部内容的逻辑性以及结构图的观赏性等维度进行内容结构体系的优化与完善，其基本环节是展示、交流、优化。
“策略与方法”时段是从整体视角针对重点问题，通过题组设计与编排探求解决问题的策略与方法。该环节主要针对基本问题的模式识别与程序落地，致力于揭示求解某类问题的一般规律，巩固所学知识方法，变陈述性知识为程序性知识，其基本环节是探索、总结、迁移。
“整合与创新”时段既是对研究问题的拓展与延伸，又是对问题解决过程的反思与总结。针对主题内容，从不同角度、不同方法、不同策略的转换中设计有层次的挑战性问题，从而激发学生的数学学科素养，培养学生的创新意识以及分析问题、解决问题的能力，其基本环节是挑战、提炼。
（三）“主题深化—结构完善”阶段
在“主题深化—结构完善”阶段，课堂教学的基本方式是“循证”，一节课按照“目标参照、循证分析、深化理解”三个时段推进。
“目标参照”时段细化为“命题意图”与“目标达成”两个环节。通过命题意图以及建立在“双向细目表”基础上的目标达成度分析，可以让学生更清楚该主题的结构框架及重难点分布，并明确相对于教师的预期自己还存在的不足，进而调整学习重心。
“循证分析”时段细化为“个别错误”与“倾向错误”两个环节。主要是为教师确定“纠错微专题”提供数据支撑，同时也让学生明白自己的问题属于个别性错误还是倾向性错误，进而进行策略性纠错，降低焦虑情绪。
“深化理解”时段主要针对倾向性错误，以微专题的形式进行纠错。先后经历四个环节：错解呈现、错因分析、正解探索、反思总结。这种微专题纠错方式既可以解决“地毯式”讲评的低效问题，也可以规避针对错题就题讲题这种“狙击式”讲评的系统性缺失问题。
“主题深化—结构完善”阶段旨在把测试获取的“差错信息”作为课堂教学的重要资源，学生通过课堂观察、自我反思、小组合作、组间研讨等学习形式，充分暴露思维过程中的偏差或不足，从而帮助学生寻找错误产生的根源，明确纠错的策略与方法，最终深化对知识本质及思想方法的理解。
参考文献
[1] 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020：8.
[2] 王秀彩. 立足“四化”，提升复习效率—以“利用函数研究不等式恒成立”微专题复习为例[J]. 中学数学教学参考，2024（2）：8-11.
[3] 王秀彩.“探究主题—结构初建课”的教学设计解读[J]. 中学数学教学参考，2023（9）：73-75，78.
（王秀彩 北京市朝阳外国语学校校长，北京市特级教师，正高级教师）
《人民教育》2025年第24期
